שיעור 94 – היפרבולה ומעגל

כדי למצוא נקודות משותפות של מעגל ושל היפרבולה פותרים את שתי המשוואות יחד. כשהמרכז של המעגל בראשית, בשתי המשוואות מופיעים רק x² ו־y² – ואז נוח לחבר או להציב את y² .

שני הגרפים סימטריים לשני הצירים, ולכן נקודות החיתוך באות בארבעות: (±x , ±y) – והן קודקודים של מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים.

המעגל שקוטרו F₁F₂ : מרכזו בראשית (אמצע הקטע) ורדיוסו c .

מתוך המשוואה: a² = 1 , b² = 24 (אפשר לכתוב x² = x²1).

המרכז הוא אמצע הקטע F₁F₂ :

הרדיוס הוא חצי מהקוטר: R = 102 = 5 .

כופלים את משוואת ההיפרבולה ב־24:

ויחד איתה משוואת המעגל:

מחברים את שתי המשוואות – y² מצטמצם:

נכתוב את משוואת המעגל ונסמן את x² :

נציב x² = 4925 :

שתי נקודות עם אותו y (למשל y = 245) יוצרות צלע אופקית, ושתי נקודות עם אותו x יוצרות צלע אנכית. צלע אופקית מאונכת לצלע אנכית, ולכן לכל זווית במרובע 90 מעלות – המרובע הוא מלבן.

אורכי הצלעות:

בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, המעגל בתכלת והמלבן בסגול.

מהיפרבולה: y² = 24x² − 24 . נכתוב את משוואת המעגל ונסמן את y² :

נציב y² = 24x² − 24 :

על ההיפרבולה תמיד x² ≥ 1 (הקודקודים הם (±1 , 0)). לכן יש נקודות משותפות רק כאשר:

(1) כאשר R > 1 : x² > 1 , ולכל x יש שני ערכים של y – ארבע נקודות.

(2) כאשר R = 1 : x² = 1 ו־y = 0 – שתי נקודות, הקודקודים (±1 , 0) . המעגל משיק להיפרבולה בקודקודים.

(3) כאשר 0 < R < 1 – אין נקודות משותפות (המעגל כולו בין שני הענפים).